Rabu, 11 Juli 2012


1. Invers Matriks

Jika A dan B adalah matriks persegi, dan berlaku A \cdot B = B \cdot A = I maka dikatakan matriks A dan B saling invers. B disebut invers dari A, atau ditulis A^{-1}. Matriks yang mempunyai invers disebut invertible atau matriks non singular, sedangkan matriks yang tidak mempunyai invers disebut matriks singular.
Untuk mencari invers matriks persegi berordo 2×2, coba perhatikan berikut ini.
Jika A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} dengan ad - bc \neq 0, maka invers dari matriks A (ditulis A^{-1}) adalah sebagai berikut:
A^{-1} = \frac {1}{ad - bc} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}
Jika ad - bc = 0 maka matriks tersebut tidak mempunyai invers, atau disebut matriks singular.
Sifat-sifat matriks persegi yang mempunyai invers:
  • (A \cdot B)^{-1} = B^{-1} \cdot A^{-1}
  • (B \cdot A)^{-1} = A^{-1} \cdot B^{-1}
  • (A^{-1})^t =(A^{t})^{-1}
Contoh: Tentukan invers dari matriks berikut!
\begin {array} {lcl} A & = & \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \frac {1}{2 \times 3 - 1 \times 5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{6-5} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ & = & \frac {1}{1} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \\ A^{-1} & = & \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}\end{array}

2. Determinan Matriks

Syarat suatu matriks dapat dicari determinannya adalah matriks tersebut harus merupakan matriks persegi. Jika A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}, maka rumus untuk mencari determinan matriks berordo 2×2:
det A = \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
Sedangkan untuk mencari determinan matriks berordo 3×3 menggunakan aturan Sarrus.
A_{3 \times 3} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}
\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{2n}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix}
\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = && a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} \\ & - & a_{13}a_{22}a_{31} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} \end{array}
Contoh: Tentukan determinan dari matriks berikut!
A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}
\begin{vmatrix} A \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} = 3 \times 2 - 1 \times 5 = 6 - 5 = 1
B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}
\begin{vmatrix} B \end{vmatrix} = \begin{vmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 3 \end{vmatrix} \begin{matrix} 1 & 2\\ 1 & 3 \\ 1 & 4 \end{matrix}
\begin{array} {lcl} \begin{vmatrix} B \end{vmatrix} & = & 1.3.3 + 2.4.1 + 3.1.4 - 1.3.3 - 4.4.1 - 3.1.2 \\ & = & 9 + 8 + 12 - 9 - 16 - 6 \\ & = & -2 \end{array}


 
ADJOINT MATRIKS
Merupakan transpose dari suatu matriks (Aij*).Dipunyai : AnxnAdjoint (A) =
*...**:::*...***...**
212221212111
nnnnnn
 A A A A A A A A A
Dengan Aij* adalah kofaktor dari
a
ij1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ nAij* = (-1)
i+j
.MijC =
314532001
Maka kofaktor dari kesembilan elemen dari C adalah :C
11
* = (-1)
1+1
.M
11
= 1.
3153
= 4C
12
* = (-1)
1+2
.M
12
= -1.
3452
= 14C
13
* = (-1)
1+3
.M
13
= 1.
1432
= -10C
21
* = (-1)
2+1
.M
21
= -1.
3100
= 0C
22
* = (-1)
2+2
.M
22
= 1.
3401
= 3C
23
* = (-1)
2+3
.M
23
= -1.
1401
= -1C
31
* = (-1)
3+1
.M
31
= 1.
5300
= 0C
32
* = (-1)
3+2
.M
32
= -1.
5201
= -5